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  6. 三角関数の倍角・半角の公式の導出方法

三角関数の倍角・半角の公式の導出方法

2013年10月29日更新

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はじめに

高校で習う三角比・三角関数では公式がたくさん出てきて覚えきれない、というのが数学が苦手な人に多いと思います。

多いならば、おぼえなくても良い方法を考えればよいのです。今回は、倍角の公式半角の公式を三角関数の加法定理から導出する手段を紹介します。

加法定理のおさらい

三角関数の加法定理とはこんな式でしたね。

sin(α+β)= sinα cosβ + cosα sinβ
cos(α+β)= cosα cosβ - sinα sinβ

この公式の導出は東京大学の入試にもでたなかなか難しいものですので、この公式は丸暗記するのがよさそうです。

覚え方はイロイロありますが、筆者は高校の先生に「サインコサインコサインサイン、コサインコサインサインサイン、最後のサインにマイナスがつく」と呪文のように唱えろ、といわれて覚えました。

前半の「サインコサインコサインサイン」がsin(α+β)の方をあらわしていて、後半の「コサインコサインサインサイン」の方がcos(α+β)をあらわしています。

最後の sinα sinβ だけがマイナスになるので、「最後のサインにマイナスがつく」になります。

sin(α-β)、cos(α-β)の導出

加法定理のヴァリエーションです。これは、

sin(-θ) = -sinθ
cos(-θ) = cosθ

の関係を使うと加法定理から導出できます。なお、この性質のことを「コサインはマイナスを食う」と覚えています。tan も

tan(-θ) = -tanθ

という性質を満たしますからね。

では加法定理の角度の部分がマイナスになっているパターンを導出してみましょう。

sin(α-β)= sinα cos(-β) + cosα sin(-β)
sin(α-β)=sinα cosβ - cosα sinβ

このようになります。βを(-β)にするだけです。cosについても同じ操作をすると、以下のようになります。ご自分でペンと紙でやってみてください。

cos(α-β)= cosα cosβ + sinα sinβ

倍角の公式の導出

sin(2α)の導出

次にsinの倍角の公式を導出してみましょう。倍角の公式とは、

sin(2α) = 2 sinα cosα

という公式でしたね。これは、加法定理の公式において、β=α(α同士の和)にすれば簡単に導出できます。

sin(α+α)= sinα cosα + cosα sinα
sin(2α)= 2 sinα cosα

cos(2α)の導出

こちらもsin(2α)と同じように β=α と置いてみましょう。

cos(α+α)= cosα cosα - sinα sinα
cos(2α) = (cosα)^2 - (sinα)^2

となります。

^2 は2乗をあらわします

更に、

(sinθ)^2 + (cosθ)^2 = 1

という三角関数で常に成り立つ公式を適応すると、

cos(2α) = 1 - 2(sinα)^2
cos(2α) = 2(cosα)^2 - 1

という形に変形できます。三角関数を統一したいときにも使う公式です。

半角の公式の導出

sin(θ/2)の導出

前項の、cosの倍角の公式から導出可能です。

cos(2α) = 1 - 2(sinα)^2

この式を、(sinα)^2 = ~ という形にします。

(sinα)^2 = ( 1 - cos2α ) / 2

ここで、

2α = θ

とおきます。そうすると、必然的に

α= θ / 2

が成り立ちますね。これを代入すると、

(sin(θ/2))^2 = ( 1 - cosθ ) / 2

となり、半角の公式が導出できます。

cos(θ/2)の導出

こちらは、

cos(2α) = 2(cosα)^2 + 1

この式を変形することによって導出できます。sinの場合と同様ですので、試してみてください。最終的には、

(cos(θ/2))^2 = ( 1 + cosθ ) / 2

という形になります。

さいごに

本稿では、三角関数の加法定理から、半角の公式と倍角の公式を導出する方法を紹介しました。

tanに関係する公式には言及していませんが、ほとんど同じ方法で導出できます。チャレンジしてみてください。

このように、数学の公式は根本にある公式を一つ覚えると、そのほかは比較的簡単な計算で導出できるものがかなりあります。

これを自由自在に使えれば、「公式を覚えてないから解けない」という事態はかなり防ぐことができるようになります。

このような導出手法はたいていの教科書に書いてありますので、「どうせ公式覚えればいいんでしょ」と言わずに見てみると実は公式は覚えなくても良いものだとわかることがあります。

このような視点で数学を勉強すると、数学がちょっと違って見えるかもしれません。

本記事は、2013年10月29日時点の情報です。記事内容の実施は、ご自身の責任のもと安全性・有用性を考慮してご利用いただくようお願い致します。

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