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  6. 現役塾講師が教える!「場合の数と確率」におけるPとCの使い方

現役塾講師が教える!「場合の数と確率」におけるPとCの使い方

高校の数学Aでは「場合の数と確率」という項目があります。順列のPと組み合わせのCを使うこの項目は苦手に思う人も多く、PとCのどっちがどっちで、使い方がどうだったかこんがらがってしまうようです。かつて高校生だった大人も「袋の中に赤球と白玉が入っていて…」という問題で苦戦した記憶はあるでしょう。そこでこの記事では、現役の塾講師が「場合の数と確率」をわかりやすく解説します。わからずに悩んでいる高校生も、勉強し直したいという大人も必見ですよ!

2013年07月08日作成

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数え上げについては、実は小学校の場合の数の応用で高校で難しいのはPとCの使い分けだけなんです。

意味が分かると、この単元は比較的簡単になりますよ。

目次

数え上げって何?

数え上げ=数を上げる

中学校では「数え上げ」なんて言葉出てきませんでしたよね。

「数え上げ」ってぐらいだから、「数を上げればいいの?」って思うかもしれません・・・実は正解です。

ためしに例題を考えてみましょう。

例題

大小2個のさいころを転がしたとき目の和が5になる組み合わせは?

解答

座標のような形で(大きいさいころの目、小さいさいころの目)を上げていくと足して5になるのは(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)ですよね。

これで4通りとわかりました。

解答を考えるときに(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)と問題に合った数を数え上げて考えること、これを数え上げといいます。

PとCの違いって何?

ちょっといい加減なイメージになりますが「Pは選んだあと配置する」「Cはただ選ぶだけ」って感じが言葉で表した状態です。

でもこれじゃ、ちょっと意味わかんないですよね。

例題で考えてみましょう。

Pは順列で、あるものの並び方の総数を求めるとき、Cは組合せでたくさんの物からいくつかを取り出しと時にできる組合せの総数を求めるときに使います。

「P」の攻略法

「P」を使った例題

A,B,Cの3人の中から委員長と副委員長を選ぶとき何通りの選び方があるか。

解答

まずは、数え上げの考え方をします。

さいころの例題と同じように座標のような形で(委員長、副委員長)で書いていきましょう。

(A,B)(A,C)(B,A)(B,C)(C,A)(C,B)となりますね。

では、これを計算の形にしてみましょう。

  • Aを委員長にしたとき、副委員長はB,Cの2通り
  • Bを委員長にしたとき、副委員長はA,Cの2通り
  • Cを委員長にしたとき、副委員長はB,Aの2通り

ということは委員長の選び方は3通りでそれぞれに対して2通りずつあるので答えは3×2=6になりますね。

「P」を使った書き方

この3×2を格好つけて書くと次のようになります。

3P2

これは3から3を含めて2つ前の数字まで(つまり3・2)をかけ算することになります。

では次の例題

「C」の攻略法

「C」を使った例題(1)

A,B,Cの中から2人を選ぶ方法は何通りの選び方があるか?

解答

上の問題との違いを考えてみると、上の問題は選んだあとで委員長と副委員長という役職に配置していますね。

今回は選ぶだけなので数え上げで考えると(A,B)と(B,A)は同じものになるので、答えは3P2÷2という形になります。

「C」を使った書き方

これを格好つけて書くと次のようになります。

3C2

これは3P2を2×1で割るという意味になります。

もう一つ例題

「C」を使った例題(2)

A,B,C,Dの4人の中から3人を選ぶとき選び方は何通りあるか?

解答

まずは3人の選び方を上げてみましょう。今度は樹形図を使って書くと次のようになります。

これだと3人を選んだあと役職をつけるPの考え方ですね。

でも今回はただ選ぶだけなのでCを使わなきゃいけません。

では4P3をいくつで割ればいいか考えるとこの中には全部で24通りありますが(A,B,C)(A,C,B)(B,A,C)(B,C,A)(C,A,B)(C,B,A)といった同じものを6回ずつ数えていますね。

この6回という数字は(A,B,C)の並び順つまり3P3なので、4P3を3P3で割ると求めたかった答えが出てきます。

計算は次の通りになります。

これを計算して出てきた4通りが答えになります。

Cを使った式だと4C3となり、計算式は上記のとおりです。

4C3の計算方法は上の通りなのですが、実は4C3って4C1と同じことを言っているんです。

ちょっと途中計算を書いてみましょう。

4C3を約分したら出てきたのは4/1が出てきましたね。

では4C1の途中計算を書くとどうなるか考えてみましょう。

4C3と4C1は最終的に同じものが出てきましたね。

これを公式で表すと次のようになります。

この公式はnとrの値が近いときに使うと非常に効果的ですので使いこなせるようになってくださいね!

最後に

PとCの違いはとても分かりにくいものです。

イメージがつかめるまでは本当に大変で著者も学生時代に何度も学校の先生に聞きに行った記憶があります。

イメージがつかめるようになるまでは繰り返しわかっている人に聞いてみるのも一つの手かもしれません。

著者も今、塾の講師をやっていますが生徒に何度も説明しています。

「繰り返し同じことを聞くと嫌がられるかもしれない・・・」と思う方もいるかもしれませんが、少なくとも著者は同じ質問をされても嫌な気はしませんので安心して聞いてみるといいですよ。

では頑張ってください!

(image by 筆者)

この記事で使われている画像一覧

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本記事は、2013年07月08日時点の情報です。記事内容の実施は、ご自身の責任のもと安全性・有用性を考慮してご利用いただくようお願い致します。

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